昔在庖牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之(数)〔术〕，以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象、精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。

往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。

徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子。虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。

《周官·大司徒》职，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，谓之地中。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。按《九章》立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、句股，则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之时，以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筩南望日，日满筩空，则定筩之长短以为股率，以筩径为句率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美，辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于《句股》之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求^〔51〕者四望。触类而长之^〔52〕，则虽幽遐诡伏^〔53〕，靡所不入，博物君子，详而览焉。

〔注释〕 庖牺： 又作包牺、伏牺等，中国古代的传说人物。 八卦： 周易的八种图形。卦由称为爻的“—”和“--”两种符号，三个一组而成。分别名为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，象征天、地、雷、风、水、火、山、泽。每卦又可象征其他事物。 通神明之德： 通晓变化的性质。 类万物之情： 类分万物之情状。 九九： 即乘法口诀，至迟在战国时已有。 六爻： 六个爻组成一个卦，称为重卦，有六十四个，代表天地万物，如乾卦为。演卦时，组成卦的每个爻，阳爻(—)可变阴爻(--)，阴爻(--)也可变阳爻(—)。 黄帝： 距今四千多年前的部落联盟领袖。后以其为“人文始祖”，加以祭祀。后世曾将许多发明创造附会于他，数学是其中之一。 历纪： 日月运行轨道的分纪。 律吕： 六律六吕的合称，即十二律。其中，单数为律、偶数为吕。律是与尺度相关的音高标准。 两仪四象： 《易·系辞上》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”两仪，指天地，有时也指阴阳。四象之说历来不一，有四时，有阴阳刚柔，有吉凶、变化、悔吝、刚柔，有太阴、少阳、少阴、太阳等。 隶首： 传为黄帝之臣，创作算数。 周公： 即姬旦，辅助兄姬发伐纣灭商。武王死后，成王年幼，摄政。传说他以方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要为九数。 张苍(约前260—前152)： 秦汉际阳武(治今河南原阳东南)人。秦时为御史，参加农民起义。汉初，累官至丞相，通天文、数学，编有《九章算术》。 耿寿昌： 西汉人。宣帝时，任大司农中丞，改进漕运，置常平仓。精于天文、数学，制作浑象，提出用黄道度量日月运行和方位，著有《月行图》、《月行帛图》，删补《九章算术》。 割裂： 从总体中分割出若干部分。 总： 持。 探赜： 探索奥秘。 事类相推： 根据定义、定理、公式、解法作演绎。 攸： 所。 枝条虽分而同本干知： 知，者也。全句以树木的枝条与本干的关系，比喻各种算法都是源于空间形式和数量关系的统一性。 析理以辞： 用语辞解说数学术语、概念、理论。 解体用图： 用平面图形或立体模型解析问题。 庶： 差不多。 约而能周： 简要又能完备。 通而不黩： 贯通又不烦杂。 六艺： 礼、乐、射、御、书、数六种技艺。 宾兴： 周代举贤之法。乡大夫向天子荐举贤能者，先以其人为宾客，用饮酒礼接待。 国子： 周代卿大夫子弟的称呼。 法： 计算方法。 规矩度量可得而共： 规和矩分别是画圆方的仪器，在此指代空间。度量，分别是长度和重量，在此指代数量关系。共，统一。此说数学来自空间形式和数量关系的统一。 《周官·大司徒》： 《周官》即《周礼》，《大司徒》在《周礼》第二篇《地官司徒》。大司徒的职务繁多，总纲是“掌建邦之土地之图与人民之数，以佐王安扰邦国。” 表： 测量用的标杆。 景： 影。 地中： 大地之中。 戴： 当、值。 尔： 如此。 端旁： 顶端界畔。 超邈： 高远。 重差： 通过两次差解决复杂测量的方法。差，表示减法运算的结果，包括两数相减或两图形之差。 率： 事物数量上的相关性。 法： 除法运算中的除数。 实： 除法运算中的被除数。 实如法而一： 如，等于。被除数中有与除数相等者，便得商数一。 筩： 两头无节中空的竹管。 圆穹之象： 日、太阳。 厥： 其。 重表： 重差术的三个基本方法之一，使用二个表。 累矩： 重差术的三个基本方法之一，使用二个矩。 孤离： 孤立分离。 三望： 三次观察。 〔51〕 旁求： 用以三望之矩外另用一矩。 〔52〕 触类而长之： 语见《易·系辞上》。意谓掌握一类事物知识或规律后，就能据此增长同类事物的知识。 〔53〕 幽遐诡伏： 比喻深奥。

(贺圣迪)

〔鉴赏〕 《九章算术注序》的作者刘徽，淄乡(今山东邹平)人。生于汉末，历魏入晋。自幼好学，博览经史诸子算术之书，于《周易》、《周礼》、《左传》、《论语》、《老子》、《庄子》、《管子》、《墨子》、《论衡》、张衡之作，均加潜研，尤耽《九章算术》。曾至洛阳，从事天文观测。或云仕魏，官为仪同，陈留王景元四年(263年)，著成《九章算术注》十卷。

《九章算术注》前九卷，分别注释《九章算术》之方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股，对其作了全面研究，拓展诸术，正其错误，提出新法；且界定概念，为作论证，奠定中国古代数学的理论基础。卷十重差，后以单本行世，名为《海岛算经》。徽注发展了出入相补原理，表述无穷小和极限思想；证明圆面积、阳马、鳖臑体积公式；首创求圆周率精确值的方法；提出求弧田密率、开方不尽求微数法，为彻底解决球体体积指出正确途径等。

书前自序，所语有两方面： 其一，论述了《九章》历史；其二，论述了自己对《九章》的研究、扩展。

刘徽论说数学源流、发展，又认为张苍等所定的《九章算术》“未足以博尽群数”。回顾数学史，在刘徽之前，《世本》、《尸子》、《吕氏春秋》、《周髀算经》等书，都曾谈到数学，但只是记载零星。对此前的数学发展历程，作较为系统的论说，刘徽是第一人，虽然所说只是《九章》部分。是为学论史，以史证明数学在发展，处于变化之中。

刘徽认为之前的数学可分为五个阶段。一、 创始。伏牺“作九九之术”。二、 发展。黄帝引伸，用于天历、音律等领域。三、九数。周公确定九数，将其纳入礼中，并以数学为学校教育内容之一。四、 散坏。秦代焚书，祸及九数。五、 成书。张苍、耿寿昌先后删补残本，成传世之《九章算术》。

上述见解，正误相杂。他认为中国古代数学发展历程是从无到有，由九数到《九章》大体符合实际。但说由伏牺作数术，又以八卦为伏牺氏数学的另一成就等，则显然不符实际。

刘徽在概述数学史时，兼谈何谓数学。他认为数与形及其变化，为客观事物所本有。在“通神明之德”、“类万物之情”中，为人所认识，形成了数学。数学是“规矩度量可得而共”，是空间形式和数量关系的统一体。数学术法，可分为不同门类，虽有不同，却属一个体系，好似一棵树“枝条虽分而同本干”。数学形成后，“以法相传”、“触类而长”，有其相对独立性。

研究数学，要“观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。”这是说，要把持住数学形成的根源，像气分阴阳那样将其分为各个方面，在探索奥秘中，领悟其理。所采用的一般方法，有“事类相推”、“析理以辞”、“解体以图”等。事类相推是将相同的归为一类，概括成一般的定义、定理、公式、法则，而后或推理得出新的认识，或演绎解决具体题目。“析理以辞”，用语辞解说数学术语、概念、理论，解析用图，用平面图形或立体模型解决问题。在他看来，这样可达到“纤而能周”、“通而不黩”。简要又能完备，贯通而不烦杂。

《九章算术》成书后，广为流传。许商、杜忠、马续、郑玄、刘洪、阚泽等人都曾加以研究。由于书中没有留下任何推导和证明，没有给出术语的定义，许多学者在探讨解法、论证、推导和定义等方面，作出种种努力，对刘徽予以启示。刘徽注《九章》。其后，注文与正文合为一书。刘徽注在吸取前人成果基础上，自己又作出多方面的贡献。后人藉刘注，得以阅读、研究《九章》，并探究刘注在数学上的新成就。自南北朝起一直到唐代，许多数学家、科学家都研究过刘徽的注，受过他的影响。在唐宋时代，它还是国家数学专科学校学生，必须学习的教材。总之，《九章算术注》，在中国封建时代，无论就数学的发展还是普及，都起过重大作用。

在当代，《九章算术注》仍有其现实价值。首先，它的内容可融入中小学数学教材及辅助读物。其次，其思想和方法，对当代数学研究有启示作用。现代计算机数学，其方式方法需要机械化、程序化和构造性，《九章算术》及刘徽注正具有这一特点。其三，启示当代学者提出新课题，以推进学术发展。最后，能增强民族自豪感，激励国人为中国复兴而努力。